传染病模型简介¶
传染病模型是一种工具，用于研究疾病传播的机制，预测未来爆发的过程和评价控制流行病的战略。
第一个系统地试图量化死亡原因的科学家是约翰·格兰特(John Graunt)，他在1662年出版的《自然与政治观察》(nature and Political Observations)中发表了《死亡清单》(bill of Mortality)。
他研究的账单是每周公布的死亡数字和死因清单。
格兰特对死亡原因的分析被认为是“竞争风险理论”的开端，据戴利和加尼说，“这是一个现在在现代流行病学家中已经确立的理论”。
1760年，丹尼尔·伯努利(Daniel Bernoulli)对疾病传播的数学模型进行了最早的描述。 作为一名内科医生，伯努利创造了一个数学模型来为接种天花疫苗的实践辩护。 根据该模型的计算结果表明，普遍接种天花疫苗将使人的预期寿命从26年7个月提高到29年9个月丹尼尔·伯努利的工作先于现代对微生物理论的理解。
20世纪初，威廉·哈默和罗纳德·罗斯应用质量作用定律来解释流行病的行为。20世纪20年代出现了隔间模型。 Kermack-McKendrick流行模型(1927)和Reed-Frost流行模型(1928)都描述了人群中易感、感染和免疫个体之间的关系。 Kermack-McKendrick流行病模型成功地预测了与许多有记录的流行病中观察到的非常相似的暴发行为。 最近，基于代理的模型(abm)被用于交换更简单的分区模型。例如，流行病学ABMs已被用来为防止SARS-CoV-2传播的公共卫生(非药物)干预提供信息。
流行病学ABMs，尽管其复杂性和要求高计算能力，一直被批评简化和不切实际的假设。尽管如此，在弹道导弹得到精确校准的情况下，它们可以为有关缓解和抑制措施的决定提供信息。
指数模型¶
定义已感染人数为$i(t)$，假设每个病人单位时间有效接触（足以使人致病）的人数为$\lambda$，那么，在时间段$\Delta t$内，病人的增量可以用如下的公式进行计算 $$ i(t+\Delta t) - i(t) = \lambda i(t)\Delta t $$
将等式右侧的$\Delta t$除到等式左侧，并取极限$\Delta t \to 0 $
$$ \lim_{x \to 0} \frac{i(t+\Delta t) - i(t)}{\Delta t} =\lambda i(t) $$写成微分方程
$$ \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} = \lambda i $$计初始时刻的病人人数为$i(0) = i_0$，那么我们可以得到指数增长的传染病模型
$$ \begin{cases} \dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} = \lambda i\\ \quad \\ i(0) = i_0 \end{cases} $$实际上，这与人口增长的指数模型是一致的，我们直接给出其解析解
$$ i(t) = i_0 e^{\lambda t} $$实际上，若病人接触的仍是病人，并不能够使病人再次患病，实际上以上的算法导致了重复计数现象的发生。 解决办法：必须区分已感染者和未感染者。
SI模型¶
现在我们将人群分成两个群体：已感染者（病人，Infected）和未感染者（健康者，Suspect），该模型称为SI模型，模型假设：
- 在研究时间内，不考虑死亡率和出生率，即总人数$N$不变，病人和健康人的比例分别为$i(t)$和$s(t)$
- 每个病人在单位时间内有效接触并致病的人数为$\lambda$，且只有接触健康人才会致病，称$\lambda$为日接触率
仿照指数模型里面的建模方法，在时间段$\Delta t$内，病人的增量可以用如下的公式进行计算
$$ N[i(t+\Delta t)-i(t)]=[\lambda s(t)] N i(t) \Delta t $$其中的$\lambda s(t)$项可以理解为是打折扣以后的传播系数。随着健康人比例的下降，这个系数也会相应下降。
从SI模型我们可以看到，病人比例不再会出现"指数爆炸"的情况，在$t \rightarrow \infty$时最大患病比例为1。在SI模型中，病人数量的增长曲线是一个典型的S型曲线，又称为Logistic曲线，该曲线在生物学上经常被用来描述物种的增长模式。
然而，SI模型的结论告诉我们，无论$\lambda$多么小，最终人群都会患病，这与病人患某些病病后有可能被被治愈的情况不符。
SIS模型¶
现在我们继续将人群分成两个群体：已感染者（病人，Infected）和未感染者（健康者，Suspect），但是病人可以被治愈。
该模型称为SIS模型，模型假设：
- 在研究时间内，不考虑死亡率和出生率，即总人数$N$不变，病人和健康人的比例分别为$i(t)$和$s(t)$
- 每个病人在单位时间内有效接触并致病的人数为$\lambda$，且只有接触健康人才会致病，称$\lambda$为日接触率
- 病人每天治愈的比例为$\mu$，称为日治愈率
在时间段$\Delta t$内，病人的增量可以用如下的公式进行计算 $$ N[i(t+\Delta t)-i(t)]=[\lambda s(t)] N i(t) \Delta t - \mu N i(t) \Delta t $$
其中新加入的 $\mu N i(t) \Delta t$代表 $ \Delta t$时间内治愈的病人数。
取极限$\Delta t \to 0 $
$$ \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} = \lambda i(1-i) - \mu i $$结合初始条件，我们得到了SIS模型的微分方程
$$ \begin{cases} \dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} = \lambda i(1-i) - \mu i \\ \quad \\ i(0) = i_0 \end{cases} $$这个模型难以求出解析解，我们继续采用差分近似的方法求解。在公式中消去$N$，再将$i(t)$移到等式的右边，我们得到如下的递推公式
$$ i(t+\Delta t) = i(t) + \lambda i(t)s(t)\Delta t - \mu i(t) \Delta t $$最终病人的人数和健康人的人数会稳定在一个固定值，并非所有的人都会患病，这个稳定值与 $\lambda$和$\mu$的取值有关。
我们也可以知道，SI模型可以看做是SIS模型在$\mu = 0$时候的特例。
SIR 模型¶
有的传染病具有免疫性，病人治愈后即移出系统，称为移出者。
我们将人群分成三个群体：已感染者（病人，Infected）、未感染者（健康者，Suspect）和免疫者（Removed），病人被治愈后永久免疫。
在时间段$\Delta t$内，病人的增量可以用如下的公式进行计算
$$ N[i(t+\Delta t)-i(t)]=[\lambda s(t)] N i(t) \Delta t - \mu N i(t) \Delta t $$健康者的增量为
$$ N[s(t+\Delta t)-s(t)]=-[\lambda s(t)] N i(t) \Delta t $$取极限$\Delta t \to 0 $，得到如下的微分方程
$$ \begin{cases} \dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} = \lambda si - \mu i \\ \quad \\ \dfrac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} = - \lambda si\\ \quad \\ i(0) = i_0,s(0) = s_0 \end{cases} $$
参考文献
- ThomsonRen github https://github.com/ThomsonRen/mathmodels
- 司守奎 《Python数学实验与建模》